La regla de l'Hôpital permet calcular fàcilment límits del tipus \( \frac 0 0 \)
Aquesta regla diu que per calcular el límit es deriva independentment el numerador i el denominador i es determina el límit del quocient entre aquestes derivades, és a dir:
Quan \( \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \dfrac 0 0 \), llavors: \( \boxed { \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \dfrac {f'(x)}{g'(x)} } \)
Exemples
\[ \lim_{x \to 1} \frac {x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac {1^2-1}{1-1} = \frac 0 0 \]
Apliquem la regla de l'Hôpital derivant per separat numerador i denominador i tornem a calcular el límit:
\[ \lim_{x \to 1} \frac {2x}{1} = \lim_{x \to 1} {2x} = {2 \cdot 1} = \boxed {2} \]
Altre exemple, haurem d'aplicar la regla dues vegades.
\[ \lim_{x \to 1} \frac {x^3 - 3 x + 2}{x^3 + x^2 - 5 x + 3} = \frac {1^3 - 3 \cdot 1 + 2}{1^3 + 1^2 - 5 \cdot 1 + 3} = \frac {1 - 3 + 2}{1 + 1- 5 + 3} = \frac 0 0 \]
Apliquem la regla de l'Hôpital
\[ \lim_{x \to 1} \frac {3x^2 - 3 }{3x^2 + 2x - 5} = \frac {3 \cdot 1^2 - 3}{3 \cdot 1^2+ 2 \cdot 1 -5} = \frac {3 - 3}{3 + 2 -5} = \frac 0 0 \]
Com que torna a donar \( \frac 0 0 \) hem de tornar a aplicar la regla i tornar a derivar:
\[ \lim_{x \to 1} \frac {6x }{6x + 2} = \frac {6 \cdot 1}{6 \cdot 1 + 2} = \frac 6 8 = \boxed {\frac 3 4} \]