Per tal que la quantitat de llum sigui la màxima possible la superfície de la finestra ha de ser màxima. Hem de maximitzar la superfície.

Anomenarem \(y\) als costats del rectangle i a la base, \( x \), l'anomenarem \(2r\) ja que és el doble del radi de la circumferència (si no ho féssim així tindríem 3 incògnites, \( x\), \(y \) i \(r \) ) .

La funció per maximitzar: la superfície

Aquesta figura està formada per un rectangle i mig cercle, per tant la seva superfície és la del rectangle  que és costat per costat: \(2r \cdot y \) sumat a la meitat de la superfície d'un cercle \( \frac{\pi r^2}{2} \) : 

\begin{equation} \label{S} S = 2ry+ \frac{\pi r^2}{2} \end{equation}

Aquesta és la funció que hem de derivar i igual a zero. Però no ho podem fer amb dues incògnites, hem de treure una fent servir el perímetre.

La fórmula del perímetre

El perímetre de la finestra està format per la línia blava del dibuix, són els tres costats del rectangle i la meitat del perímetre del cercle. A l'enunciat del  problema ens diuen que el perímetre és de 20m.

\[\boxed{\underbrace{2y+2r}_{\text{3 costats del rectangle}}+ \overbrace{\frac{2 \pi r}2}^{\text{Meitat del perímetre del cercle}}=16 }\]

\[2y+2r+  \frac{\not 2 \pi r}{\not 2}=16 \]

\[2y+2r+  \pi r=16 \]

\[2y+ 2r+ 3.142r =16 \]

\[2y+  5.142r =16 \]

D'aquesta fórmula aïllarem la \(y\) ja que es resol més fàcilment que si aïllem la \(r\) ja que a l'equació de la superfície \eqref{S} el radi està elevat al quadrat.

\[ y=\frac {16-5.142r}{2} \]

\begin{equation} \label{Y} y=8-2.571r \end{equation}

Preparació de la funció de la superfície per poder derivar

Substituïm \(y\) de la fórmula anterior \eqref{Y} en la de la superfície \eqref{S}:

\[S=2r ( \underbrace{8-2578r}_{y})+\underbrace{1.571}_{\frac {\pi}{2}}r^2 \]

\[S=16r-5.142r^2+1.571r^2 \]

\[ \boxed{S=16r-3.571r^2} \]

Derivem la funció de la superfície que ja només té una variable, \(r\):

\begin{equation} \label{dS} S'=16-7.142r \end{equation}

Igualem a zero la derivada per trobar el màxim:

\[16-7.142r=0 \]

\[16=7.142r \]

\[r= \frac {16}{7.142} \]

\[ \boxed{r \approx 2.240m} \]

Ara hem de comprovar si aquest valor correspon realment a un màxim o no amb el signe de la derivada \eqref{dS} abans i després del valor de \(r\) que hem trobat.

\[S'(2) = 16-7.142 \cdot 2 >0 \]

\[S'(3) = 16-7.142 \cdot 3 <0 \]

Com  que la derivada es positiva (creix) i negativa (decreix) després del punt, es tracta d'un màxim. Ara calcularem el valor de \(y\) amb l'equació \eqref{Y}:

\[ y=8-2.571 \cdot 2.240 \]

\[ \boxed{y \approx 2.240} \]

Així doncs, com que \(x\) és el doble de  \(r\), llavors: \( x = 2 \cdot 2.240 \) i per tant \(\boxed{x= \approx 4.480m }\).

Solució:

Per que la superfície sigui màxima la base de la finestra ha de tenir uns 4.480m i la altura del rectangle ha de ser d'uns 2.240m.