Omet navegació

Continuïtat de funcions

Coneixements previs

Definició de funció contínua en un punt

Si \(x=a\) és un punt d'acumulació del domini d'una funció \(f(x) \), direm que la funció és contínua en el punt si:

\( \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =  \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \)

Quan un punt no és continu llavors és discontinu i és un punt de discontinuïtat.

Continuïtat en un interval

Una funció \( f(x) \)  és contínua en l'interval \( [a,b] \) si és contínua en tots els punts de l'interval \( ( a,b) \) i és continua per la dreta d'\(a\) i per l'esquerra de \( b \).

  • És contínua per la dreta d'\(a\) quan: \( \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \)
  • És continua per l'esquerra de \( b \) quan:  \( \displaystyle \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \)

Classificarem els punts de discontinuïtat de la següent forma:

  • Discontinuïtat evitable. El límits laterals coincideixen en un valor real (no infinit). És a dir:  \( \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = b \). On \( b \in  \mathbb{R} \).
  • Discontinuïtat no evitable. Els límits laterals no coincideixen o si coincideixen el seu valor és infinit. Es a dir:  \( \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) =  \pm  \infty \). O bé \( \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \not = \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) \)
    • Discontinuïtat no evitable de salt finit. Quan els dos límits laterals són dos reals. \( \displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = b, \ \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = c \). On \( b \not = c \) i \( b, c \in  \mathbb{R} \). La magnitud del salt és \( |b-c | \)
    • Discontinuïtat no evitable de salt infinit: quan un o tots dos límits són infinit, és a dir \( b = \pm  \infty \) i/o \( c = \pm  \infty \)

Nota: Tot i que no ho farem servir en aquest curs, hem de saber que si el punt \( x=a \) no és un punt d'acumulació, però existeix \( f(a) \), llavors la funció és continua en \( x=a \).

Bibliografia

És un punt, que pot pertany o no al domini, al qual ens podem apropar tant com vulguem amb valors que SÍ pertanyen al domini. Mes Informació: http://mat2.tiddlyspot.com/#Punt%20d'acumulaci%C3%B3%20del%20domini