Anomenarem \(y\) a l'alçada del cilindre i \(r\) al seu radi.

Fórmula de la superfície

Un cilindre, tal com es mostra a la figura, està format per un rectangle de base igual al perímetre del cercle que el forma i dos cercles que són la tapa i la base.

Superfície del rectangle: \(S_r= 2 \pi r \cdot y \)

Superfície dels dos cercles: \( S_c = 2 \cdot \pi r^2 \)

La superfície total del cilindre és la suma de les dos anteriors:

\(S= 2 \pi r  y + 2  \pi r^2 \)

Per tal de simplicar aquesta fórmula escriurem els valors de \(\pi\) i operarem:

\( S= 2 \cdot 3.1416 r  y + 2 \cdot 3.1416  r^2 \)

\begin{equation} \label{S} S= 6.2832 r  y +6.2832  r^2 \end{equation}

Ens demanen la superfície màxima de forma que haurem de derivar aquesta funció, però no ho podem fer ja que tenim dues variables. Per reduir el nombre de variables farem servir el volum.

Volum del cilindre

El volum d'un cilindre és \( V= \text{àrea base} \times \text{altura} \). Com que la base és un cercle, la seva superfície és: \(\pi r^2\). El volum total serà:

\[V = \pi r^2 y \]

I com que el volum és de 10m³ 

\[ \pi r^2 y =10 \]

D'aquí aïllarem la \(y\) ja que serà més senzill substituir-la a l'equació se la superfície \eqref{S} perquè no està elevat al quadrat i \(r\) si.

\[y= \frac {10}{\pi r^2} \]

I com abans, operem amb decimals \( \frac {10}{\pi} \approx 3.1831 \):

\begin{equation} \label{Y} y= \frac {3.1831}{r^2} \end{equation}

Resolució del problema

Substituïm \(y\) \eqref{Y} a l'equació de la superfície \eqref{S}:

\[S= 6.2832 r  \frac {3.1831}{r^2} +6.2832  r^2 \]

\[S=   \frac {20 \not r}{r^{\not 2}} +6.2832  r^2 \]

\begin{equation} \label{S2} S=   \frac {20}{r} +6.2832  r^2 \end{equation}

Derivem aquesta equació, igualem a zero i resolem per trobar el màxim:

\begin{equation} \label{dS} S'=   -\frac {20}{r^2} +12.5664  r \end{equation}

\[ -\frac {20}{r^2} +12.5664  r=0 \]

\[ 12.5664  r=\frac {20}{r^2} \]

\[ 12.5664  r^3={20} \]

\[   r^3=\frac{20}{12.5664} \]

\[r^3=1.5915 \]

\[r= \sqrt[3]{1.5915} \]

\[ \boxed{r \approx 1.1675} \]

Per saber si es tracta d'un mínim mirem el signe de la derivada \eqref{dS} abans i després d'aquest nombre:

\[S'(1)=   -\frac {20}{1^2} +12.5664  \cdot 1 <0 \]

\[S'(1.2)=   -\frac {20}{1.2^2} +12.5664  \cdot 1.2 >0 \]

Com que abans és negativa (decreix) i després és positiva (creix) es tracta d'un mínim, que és el que volíem.

Per trobar el valor de \(y\) substituïm el valor de \(r\) a l'equació \eqref{Y}:

\[y= \frac {3.1831}{1.1675^2} \]

\[ \boxed{y \approx 2.3353} \]

Solució: Per tal que la superfície sigui mínima el cilindre ha de tenir un radi de 1.1675m i una altura de 2.3353m.