Els valors de \(x\) candidats a ser discontinuïtats són el que separen els intervals, \(x_1=0\) i \(x_2=3\). A més en tenir una funció racional (amb fracció) el valors que facin el seu denominador 0 també seran candidats. Començarem per aquesta funció.

Discontinuïtats de la funció \( f_1(x)=\dfrac {x+1} {x^2-1} \) (només quan \( x \le 0 \) )

Igualem a zero el denominador: \( x^2-1 = 0,\ x^2=1,\ x= \pm \sqrt 1 = \boxed {\pm 1} \). Obtenim dos valors \( x_1=-1 \) i \( x_2=1 \). El primer està dins de l'interval de la funció ja que és menor de 0. El segon, \( x_2=1 \), és més gran de 0, per tan no pertany a la funció \(f(x) \). Així doncs només mirarem la continuïtat de \( x = -1 \).

Comencem calculant \( f(-1) = \frac {-1+1}{(-1)^2-1} = \frac 0 0 = \not \exists \). Com que no existeix, la funció tindrà una discontinuïtat en aquest punt. Per saber de quin tipus és hem de calcular el límit quan \(x\) tendeix a -1:

\[ \lim_{x \to -1} f(x) = \frac {-1+1}{(-1)^2-1} = \frac 0 0\] aquesta és una indeterminació que resoldrem amb la regla de L'Hôpital.

\[ \lim_{x \to -1} \frac {x+1} {x^2-1} = \lim_{x \to -1} \frac {D(x+1)} {D(x^2-1)} = \lim_{x \to -1} \frac {1+0} {2x-0} = \frac 1 {2 \cdot (-1)} = \boxed{ - \frac 1 {2}} \]

Així doncs \(x=-1\) és una discontinuïtat evitable ja que el límit és un nombre real (aquest límit inclou els laterals que són iguals) i és diferent de \( f(-1) \) ja que no existeix.

Ara comprovarem els punts que separen els intervals.

Comprovació de \( x=0 \)

Aquest valor separa les funcions primera i segona, així doncs les fem servir per calcular els límits laterals:

Límit per l'esquerra, substituïm a la primera funció:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x)= \frac {0+1} {0^2-1} = \frac {1} {-1} = \boxed {-1} \]

Límit per la dreta, substituïm a la segona funció:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x)= e^0-2= 1-2 = \boxed {-1} \]

Els límits coincideixen, calculem ara \( f(0) \) substituint a la funció que porta l'igual per al 0, aquesta funció és la primera: \(f(0) = \frac {0+1} {0^2-1} = \frac 1 {-1} =  \boxed {-1} \).

Com que els límits laterals coincideixen amb el valor \(f(0) \) el punt \( x= 0 \) és continu.

Comprovació de \( x=3 \)

L'altra valor que actua com a separació dels intervals de funcions és \( x=3 \), aquest valor separa les funcions segona i tercera. Calcularem en primer lloc els límits laterals.

Límit per l'esquerra, substituïm a la segona funció:

\[ \lim_{x \to 3^-} f(x)= \boxed {e^3-2} \]

Límit per la dreta, substituïm a la tercera funció:

\[ \lim_{x \to 3^+} f(x)= 3-3 = \boxed {0} \]

Ambdós límits són reals però com que no coincideixen ja no cal calcular \(f(3) \), es tracta d'una discontinuïtat no evitable de salt finit, el salt és \( \left | e^3-2 -0 \right | = \left | e^3-2 \right | \approx 18.086 \)

Solució

La funció \( f(x) \) té dos punts de discontinuïtat:

• \( x=-1 \) que és una discontinuïtat evitable.
• \( x=3 \) que és una discontinuïtat no evitable de salt finit de aproximadament 18.086 unitats.