Ens hem de fixar bé quina funció serà la que hem de maximitzar, en aquest cas és la funció que representa el quadrat del primer més el doble del segon. Aquesta funció l'haurem de derivar i igualar a zero per trobar el seu màxim i així poder trobar els nombres que en demanen.

Anomenarem \(x\) i \(y\) als dos nombres que ens demanen.

La funció que hem de maximitzar és:

\begin{equation} \label{1} 
\boxed{S = x^2+2y } 
\end{equation}

Encara no es pot trobar el màxim ja que té dues variables, hem d'eliminar una de les dues (en principi no importa quina de les dues).

Com que els nombres sumen 75 podem escriure: \(x+y=75\) i d'aquí aïllem una de les variables:

\begin{equation}  \label{2}
y=75-x 
\end{equation}

i la substituïm en la primera funció \eqref{1}:

\( S = x^2+2(75-x) \)

\( S=x^2-2x+150 \)

A continuació derivem i igualem a zero per trobar el màxim:

\begin{equation}  \label{3} S'=2x-2 \end{equation}

\( 2x-2=0 \)

\( x= \dfrac {2} 2 = \boxed{ 1}\)

Hem de comprovar si aquest resultat és un mínim tal com ens demanen. Per fer-ho calculem el signe de la derivada \eqref{3} abans i després de \(x\):

\( S'(0.9)= 2 \cdot 0.9 -2 <0 \) 

\( S'(1.1)= 2 \cdot 1.1 -2 >0 \) 

Com que la derivada primer decreix i després creix es tracta d'un mínim, tal com volem. Ara podem calcular \(y\) substituint \(x\) a l'equació \eqref{2}:

\( y=75-x = 75 - 1 = 74 \)

Els dos nombres que busquem són el 74 i l'1.