El que hem de saber abans de començar

• Es tracta d'una funció racional ja que està formada per la divisió de dos polinomis.
• Les funcions racionals poden tenir asímptotes verticals i/o horitzontals.

Estudi de la funció

1. \(D=\mathbb R-\{4\} \) També: \( D=(-\infty, 4) \cup (4, \infty) \)
2. Punts de tall amb els eixos:
   • Eix \(X\): \( P_{x}(-4,0) \)
   • Eix \(Y\): \( P_{y}(0,-2) \)
3. Asímptotes:
   • Vertical: \( x=4\)
   • Horitzontal: \( y=2 \)
4. Signes de la funció:
   • Positiva: \( (-\infty,-4) \cup (1, \infty) \)
   • Negativa: \( (-4,4) \)
5. Estudi de la derivada \( y'= \dfrac {-16}{(x - 4)^2} \)
   • Monotonia:
     • Decreix: \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \)
     • Creix: \( \emptyset \)
   • Extrems relatius. No té extrems.

Gràfica

El que hem de saber abans de començar

• Es tracta d'una funció racional ja que està formada per la divisió de dos polinomis.
• Les funcions racionals poden tenir asímptotes verticals i/o horitzontals.

Estudi de la funció

1. \(D=\mathbb R-\{\pm 1\} \) També: \( D=(-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, \infty) \)
2. Punts de tall amb els eixos:
   • Eix \(X\): \( P_{x1}(-2,0);\ P_{x2}(2,0) \)
   • Eix \(Y\): \( P_{y}(0,4) \)
3. Asímptotes:
   • Verticals: \( x_1=-1,\ x_2=1\)
   • Horitzontal: \( y=2 \)
4. Signes de la funció:
   • Positiva: \( (-2,2)  \)
   • Negativa: \( (-\infty,-2) \cup (2, \infty) \)
5. Estudi de la derivada \( y'= \dfrac {6 x}{(x^2 - 1)^2} \)
   • Monotonia:
     • Decreix: \( (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \)
     • Creix: \( (0,1) \cup (1, \infty ) \)
   • Extrems relatius. Mínim: \( P_{mín}(0,4) \)

Gràfica

El que hem de saber abans de començar

• Es tracta d'una funció racional ja que està formada per la divisió de dos polinomis.
• Les funcions racionals poden tenir asímptotes verticals i/o horitzontals.

Estudi de la funció

1. \(D=\{ \mathbb R \} \) (Quan s'iguala el denominador a 0 l'equació no té solució, per tant el domini són tots els reals)
2. Punts de tall amb els eixos:
   • Eix \(X\): \( P_{x}(-3,0) \)
   • Eix \(Y\): \( P_{y}(0,0.75) \)
3. Asímptotes:
   • Verticals: No té perquè els domini són tots els reals.
   • Horitzontal: \( y=0 \)
4. Signes de la funció:
   • Positiva: \( (-\infty,-3)  \)
   • Negativa: \( (-3, \infty) \)
5. Estudi de la derivada \( y'= \dfrac {-x^2 - 6 x + 4}{(x^2 + 4)^2} \)
   • Monotonia:
     • Decreix: \( (-\infty, -6.61) \cup (0.61, \infty) \)
     • Creix: \( (-6.61,0.61) \)
   • Extrems relatius.
     • Mínim: \( P_{mín}(-6.61,-0.08) \)
     • Màxim: \( P_{máx}(0.61,0.83) \)

Gràfica

Tot i que a la gràfica no es veu gaire bé, tant per la seva esquerra com per la seva dreta, la funció s'aproxima asimptòticament a l'eix horitzontal (\( y=0 \) ).