Anomenarem \(N\) al nombre de unitats venudes, \(P\) al preu del producte, \(B\) al benefici obtingut per la venta i \(x\) al nombre de vegades que pugem el preu.

El nombre de productes venuts, si pugem x vegades el preu, és: \begin{equation} \label{N} N= 1000-x  \end{equation}

El preu del producte, si pugem x vegades el preu, és: \begin{equation} \label{P} P=2000+5x  \end{equation}

El benefici obtingut és: \( B = N \cdot P \) que també podem escriure multiplicant les equacions \eqref{N} i \eqref{P}: 

\begin{equation} \label{B} B = \underbrace{(1000-x)}_{N} \cdot \underbrace{(2000+5x)}_{P} \end{equation}

Apartat a)

Per expressar els beneficis en funció del nombre de clients, aïllem  x de l'equació del nombre de clients \eqref{N}: \(x=1000-N\) i la substituïm a l'equació \eqref{B}:  \(B= N \cdot [2000+5(1000-N)] =\) \( N \cdot (2000+5000-5N) = \) \( N (7000-5N) \) i finalment:

\( \boxed{B(N) = 7000N-5N^2} \)

que són els beneficis en funció de les unitats venudes.

Apartat b)

Per expressar els beneficis en funció del pres, aïllem x de l'equació del preu  \eqref{P}: \( x = \frac {P-2000}{5} \) i la substituïm a l'equació \eqref{B}: \( B = \left ( 1000- \frac {P-2000}{5} \right ) \cdot P = \) \( \left ( \frac {5000-(P-2000)}{5} \right ) \cdot P = \) \( \left ( \frac {7000-P}{5} \right ) \cdot P \) i finalment:

\begin{equation} \label{BP} \boxed{B(P) =  \dfrac {7000P-P^2}{5}} \end{equation}

que són els beneficis en funció del preu.

Apartat c)

Per trobar el preu amb el que obtindrem el benefici màxim farem servir la darrera funció \eqref{BP} ja que són els beneficis en funció del preu. Hem de derivar i igualar a zero per trobar el màxim.

\begin{equation} \label{dB} B'(P) = \frac {7000-2P} 5 \end{equation}

Resolem l'equació: \(  \frac {7000-2P} 5 = 0 \); \(7000-2P=0 \); \( 7000=2P \); \(P= \frac {7000}2 \); \( \boxed{P=3500€} \)

Hem de comprovar si aquest preu correspon als beneficis màxims. Per saber-ho veurem els signes de la derivada \eqref{dB} abans i després de 3500:

\(B'(3400)= \frac {7000-2 \cdot 3400} 5 >0 \)

\(B'(3600)= \frac {7000-2 \cdot 3600} 5 <0 \)

La derivada creix abans de 3500 i decreix després, es tracta per tant d'un màxim. El benefici que obtindrem amb aquest preu el podem saber substituint-lo a l'equació dels beneficis \eqref{BP}:  \(B(3500) =  \frac {7000 \cdot 3500-3500^2}{5} = \) \( \frac {12250000} 5 = \) \( \boxed{2450000 €} \)

El preu per obtenir el màxim benefici és de 3500€ la unitat i els beneficis són de 2 450 000 €.