En principi els punts candidats a ser discontinus són els valors de les x que separen els intervals, es a dir, l'1 i el 2. Però en aquest cas hi ha més ja que tenim dos funcions racionals (fraccions). Hem de mirar els valors que fan 0 el seu denominador i veure si pertanyen a l'interval en el qual estan definides les seves respectives funcions.

Primera funció: \( f_1(x) = \dfrac 1 {x^2} \) (només vàlida quan \( x < 1 \) )

Igualem a 0 el denominador i resolem: \( x^2 = 0,\ x=\sqrt 0,\ \boxed {x=0} \). Com que 0 és menor d'1 aquest valor està dins els límits d'actuació de la funció.

\( f_1(0) = \frac 1 {0^2} = \frac 1 0 = \not \exists \). Aquesta funció no està definida per \( x = 0 \) i es tracta d'un punt de discontinuïtat. Per saber de quin tipus és calcularem el límit en \( x=0\). No caldrà fer el límit per l'esquerra i per la dreta ja que el seu resultat és evident:

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} f_1(x)= \frac 1 0 = \pm \infty \). Aquest límit és del tipus \( \frac k 0 \) ( \( k \not = 0, \ k \in \mathbb{R} \) ) i aquests límits donen sempre infinit.

Es tracta d'una discontinuïtat no evitable de salt infinit.

Tercera funció: \( f_3(x) = \dfrac x {x-1} \) (vàlida quan \( x>2 \))

Com abans, igualem a 0 el denominador: \( x-1 = 0,\ \boxed{x=1} \). Com que aquesta funció només actua quan \(x\) és més gran de 2, no pot ser un punt de discontinuïtat ja que 1 és més petit de 2.

Ara comprovarem els punts que separen els intervals.

Comprovació de \( x=1 \)

Límit per l'esquerra, substituïm a la primera funció:

\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac 1 {1^2} = \boxed{1} \]

Límit per la dreta, substituïm a la segona funció:

\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = e^{1-1} = e^0 =  \boxed{1} \]

Els dos límits coincideixen, a continuació calculem \( f(1) \). Substituirem l'1 en la funció que porti el símbol igual, aquesta funció és la segona:

\[ f(0) = e^{1-1} = e^0 =  \boxed{1} \]

Donat que els tres valors coincideixen en 1 aquesta funció és contínua en \( x=1 \).

Comprovació de \( x= 2 \)

Límit per l'esquerra, substituïm a la segona funció:

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = e^{2-1} = e^1 =  \boxed{e} \]

Límit per la dreta, substituïm a la tercera funció:

\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac 2 {2-1} = \frac 2 {1} =  \boxed{2} \]

El límits laterals no coincideixen i són finits, per tant és una discontinuïtat no evitable de salt finit. El salt és: \( \left | e-2 \right | \approx 0.718 \).

Resumint, els punts de discontinuïtat d'aquesta funció són:

• \( x=0 \) (discontinuïtat no evitable de salt infinit)
• \( x=2 \) (discontinuïtat no evitable de salt finit, amb salt aproximadament 0.718)