1) En una botiga veiem uns pantalons per 14€ sense el 16% d'IVA. Quant euros val l'IVA?
Hem de calcular el 16% de 14: IVA \(= 14 \cdot \frac {16}{100} = 2.24€ \)
L'IVA val 2.24€.
2) En un diari de notícies llegim que els preus s'han incrementat un 3.5%. Quant ha pujat un producte que valia 23€ abans de l'increment?
Hem de calcular el 3.5% de 23. El preu ha pujat \(23 \cdot \frac {3.5}{100} = 0.805€ \)
L'article ha pujat uns 81 cèntims.
3) En una botiga veiem uns pantalons per 14€ sense el 16% d'IVA. Quant euros valen els pantalons amb IVA inclós?
És un cas d'increment. Preu \( 14 \cdot \left (1+ \frac {16}{100} \right ) =14 \cdot 1.16 = 16.24€ \)
El preu final dels pantalons és 16.24€.
4) La població de voltors d'una determinada regió decreix un 5% anualment. La població actual de voltors és de 2300 aus. Calcula quans voltors quedaran dins de 4 anys.
És un cas de disminució successiva durant 4 anys. La fórmula és \(x \cdot \left (1- \frac p {100} \right ) ^n \)
Voltors = \(2300 \cdot\left (1 - \frac 5 {100}\right ) ^4 \)
Voltors = \(2300 \cdot 0.95^4 \approx 1873 \)
Al cap de 4 anys quedaran uns 1873 voltors.
5) Un arbre de 3.25m d'alçada creix 90cm. Quin percentatge ha crescut?. Si durant 5 anys creix el mateix percentatge, quant mesurarà al final?
El percentatge el calcularem dividint el que ha crescut (0.9m) entre la seva alçada inicial (3.25m) i multiplicant el resultat per 100.
Creixement de 0.9m: \( \frac {0.9}{3.25} \cdot {100} \approx \boxed {27.69 \% } \)
Alçada passats 5 anys: \(3.25 \cdot \left ( 1 + \frac {27.69}{100} \right )^5 \approx \boxed {11.03 m} \).
Al final mesurarà uns 11.03m.
6) Un article que han rebaixat 3€ val 27€. De quin tant per cent és la rebaixa?
Si l'han rebaixat 3€ i ara val 27€ vol dir que abans de la rebaixa costava 27+3 = 30€.
Si el preu inicial era de 30€, calculem el percentatge dels 3€ de rebaixa respecte al preu inicial:
\[p= \frac 3 {30} \cdot 100 = \boxed{10 \%} \]
La rebaixa és del 10%.
Forma alternativa de càlcul:
Llavors fem servir la fórmula per les disminucions:
\[ 27 = 30 \cdot \left ( 1 - \frac p {100} \right ) \]
\[27 = 30 -\frac {30p}{100} \]
\[ \frac {30p}{100} = 30-27 \]
\[ \frac {30p}{100} = 3 \]
\[ p=\frac {300}{30} = \boxed{10 \%} \]
La rebaixa és del 10%.
7) El preu d'un producte amb el 16% d'IVA és 16.80€. Quant val sense IVA?
Anomenarem \(x\) al preu original sense IVA i fem servir la fórmula de l'increment:
\[ 16.8 =x \cdot \left ( 1 + \frac {16}{100} \right ) \]
\[ 16.8= x \cdot 1.16 \]
\[ x= \frac {16.8}{1.16} = \boxed{14.48€} \]
El producte sense IVA val 14.48€.
8) Un noi mesura 1.60cm d'alçada, un any més tard mesura 1,71cm. Quin percentatge ha crescut?
El noi ha crescut \( 1.71-1.6 =0.11cm \). Calculem quin percentatge representa aquest valor envers l'alçada inicial: \(p= \frac {0.11}{1.6} \cdot 100 = \boxed{ 6.875 \%} \).
Ha crescut el 6.875%.
Altre forma alternativa de càlcul
Podem fer servir la fórmula de l'increment:
\[ 1.6 \cdot \left ( 1 + \frac p {100} \right ) =1.71 \]
\[ 1.6+ \frac {1.6p}{100} =1.71 \]
\[ \frac {1.6p}{100} = 1.7-1.61 \]
\[ \frac {1.6p}{100} = 0.11 \]
\[ 1.6p= 100 \cdot 0.11 \]
\[ 1.6p= 11 \]
\[ p= \frac {11} {1.6} = \boxed {6.875 \%} \]
Ha crescut el 6.875%.
9) En una enquesta feta a 800 persones sobre la nacionalitat dels estiuejants en un municipi de la costa andalusa, s'ha observat que el 40% dels enquestats són espanyols i el 60% estrangers, que el 30% dels espanyols i el 80% dels estrangers resideixen en un hotel i la resta en un altre tipus de residència. Segons aquesta enquesta:
a) Quants estrangers hi ha?
b) Quants espanyols i quants estrangers resideixen en un hotel?
a) Calculem el 60% del nombre d'enquestats: \(800 \cdot \frac {60}{100}= \boxed{480} \)
Hi ha 480 enquestats d'origen estranger.
b) Espanyols. El 40% són espanyols i d'aquest 40% el 30% resideixen en un hotel, per tant: \(800 \cdot \frac {40}{100} \frac {30}{100} = \boxed{96} \)
Estrangers. Com que ja sabem que hi ha 480 estrangers podem calcular la quantitat que resideix en un hotel, és a dir el 80% de 480: \( 480 \cdot \frac {80}{100}=\boxed{384}\)
96 espanyols i 384 estrangers enquestats viuen en un hotel.
10) Quan ens fan un descompte en un article, el descompte s'ha d'aplicar abans o després de l'IVA per a que ens surti el més barat possible?
Suposem que el descompte és d% i l'IVA és 16%. Al preu inicial l'anomenarem \(x\) i al preu final \(P_f\).
Si fem primer el descompte el preu del producte serà: \(x \cdot \left (1- \frac d {100} \right ) \). Aquest és el preu amb descompte i sense IVA.
Ara apliquem l'IVA que en donarà el preu final: \( {P_f}_1= \left [ x \cdot \left (1- \frac d {100} \right ) \right ] \cdot \left (1+ \frac {16}{100} \right ) \).
Anomenarem \(y\) al primer parèntesi (descompte) i \(z\) al segon parèntesi (IVA). Llavors el preu final queda com: \( \boxed {{P_f}_1 = x \cdot y \cdot z } \)
Si fem primer l'IVA el preu del producte serà: \( x \cdot \left (1+ \frac {16} {100} \right ) \). Aquest és el preu amb IVA i sense descompte.
Ara apliquem el descompte que en donarà el preu final: \( {P_f}_2= \left [ x \cdot \left ( 1+ \frac {16} {100} \right ) \right ] \cdot \left (1- \frac {d}{100} \right ) \).
Si fem servir les mateixes lletres d'abans ( \(y\) descompte i \(z\) IVA) tenim que \( \boxed{{P_f}_2 = x \cdot z \cdot y} \)
Podem veure que les dues quantitats són exactament la mateixa, \({P_f}_1={P_f}_2 \), ja que en un producte no importa l'ordre dels factors. Per tant és igual si primer ens apliquen el descompte o primer l'IVA, en els dos casos el preu final és el mateix.